Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

$$\int \dfrac{dx}{1+\cos x}$$

Используем формулу половинного угла $1+\cos x=2\cos^2\dfrac x2$: $$\frac1{1+\cos x}=\frac1{2\cos^2(x/2)}.$$ Пусть $u=\dfrac x2$, $du=\dfrac{dx}2$, $dx=2\,du$: $$\int\frac{dx}{2\cos^2(x/2)}=\int\frac{2\,du}{2\cos^2u}=\int\frac{du}{\cos^2u}=\mathrm{tg}\,u+C=\mathrm{tg}\frac x2+C.$$

$$\boxed{\mathrm{tg}\dfrac x2+C}$$