$$\int \dfrac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$: $$\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{(x+1)-(x-1)}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}2.$$ Интегрируем почленно (табличная формула $\int\sqrt{u}\,du=\frac23u^{3/2}$): $$\int\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}2\,dx=\frac12\left(\frac23(x+1)^{3/2}-\frac23(x-1)^{3/2}\right)+C=\frac13\left[(x+1)^{3/2}-(x-1)^{3/2}\right]+C.$$

$$\boxed{\dfrac13\left[(x+1)^{3/2}-(x-1)^{3/2}\right]+C}$$