$$\int \dfrac{x^2}{4-x^2}\,dx$$

Выделяем целую часть: $x^2=-(4-x^2)+4$, поэтому $$\frac{x^2}{4-x^2}=-1+\frac{4}{4-x^2}.$$ По табличной формуле $\displaystyle\int\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$ при $a=2$: $$\int\frac{4\,dx}{4-x^2}=4\cdot\frac1{2\cdot2}\ln\left|\frac{2+x}{2-x}\right|=\ln\left|\frac{2+x}{2-x}\right|.$$ Значит, $$\int\left(-1+\frac4{4-x^2}\right)dx=-x+\ln\left|\frac{2+x}{2-x}\right|+C.$$

$$\boxed{-x+\ln\left|\dfrac{2+x}{2-x}\right|+C}$$