$$\int\left(1-\dfrac1{x^2}\right)\sqrt{x\sqrt x}\,dx$$

Упростим корень: $\sqrt{x\sqrt x}=\sqrt{x\cdot x^{1/2}}=\sqrt{x^{3/2}}=x^{3/4}$. Раскрываем скобки: $$\left(1-\frac1{x^2}\right)x^{3/4}=x^{3/4}-x^{-5/4}.$$ Интегрируем по степенной формуле: $$\int x^{3/4}\,dx=\frac{x^{7/4}}{7/4}=\frac47x^{7/4},\qquad \int x^{-5/4}\,dx=\frac{x^{-1/4}}{-1/4}=-4x^{-1/4}.$$ Итого: $$\int\left(x^{3/4}-x^{-5/4}\right)dx=\frac47x^{7/4}-\left(-4x^{-1/4}\right)+C=\frac47x^{7/4}+4x^{-1/4}+C.$$

$$\boxed{\dfrac47\sqrt[4]{x^7}+\dfrac{4}{\sqrt[4]{x}}+C}$$