Найти интеграл: $$\int x(x-1)^2\,dx$$

Раскроем скобки, чтобы получить сумму степенных функций: $$x(x-1)^2 = x(x^2-2x+1) = x^3-2x^2+x.$$ Интегрируем почленно по табличной формуле $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$: $$\int(x^3-2x^2+x)\,dx = \frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C.$$

$$\boxed{\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+C}$$