Задача повышенной сложности (со звёздочкой). Используя таблицу приближений Маклорена, найти полином четвёртого порядка, приближающий функцию $f(x)=\sqrt{m^2c^4+x^2}$ в окрестности точки $x_0=0$ ($m,c$ — положительные константы).

Обозначим $a=mc^2>0$ и вынесем его за знак корня: $$\sqrt{m^2c^4+x^2}=\sqrt{a^2+x^2}=a\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}.$$

Используем биномиальный ряд для $(1+u)^{1/2}$ с $u=\dfrac{x^2}{a^2}$: $$(1+u)^{1/2}=1+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+\ldots=1+\frac{x^2}{2a^2}-\frac{x^4}{8a^4}+\ldots$$

Умножим на $a$: $$\sqrt{a^2+x^2}=a+\frac{x^2}{2a}-\frac{x^4}{8a^3}+\ldots$$

Возвращаясь к обозначению $a=mc^2$ (тогда $a^3=m^3c^6$): $$\sqrt{m^2c^4+x^2}=mc^2+\frac{x^2}{2mc^2}-\frac{x^4}{8m^3c^6}+\ldots$$

(Первые два ненулевых слагаемых: $mc^2+\dfrac{x^2}{2mc^2}$ — это, в частности, знакомая нерелятивистская аппроксимация энергии $E\approx mc^2+\dfrac{p^2}{2m}$ при $x=pc$.)

$$\boxed{P_4(x)=mc^2+\frac{x^2}{2mc^2}-\frac{x^4}{8m^3c^6}.}$$