Задача повышенной сложности (со звёздочкой). Используя таблицу приближений Маклорена, найти полином четвёртого порядка, приближающий функцию $f(x)=\sqrt{4+x^2}$ в окрестности точки $x_0=0$.

Вынесем константу за знак корня: $$\sqrt{4+x^2}=\sqrt4\cdot\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}=2\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}.$$

Используем биномиальный ряд для $(1+u)^{1/2}$ с $u=\dfrac{x^2}{4}$ (ограничиваемся членами до $u^2$, так как $u^3\sim x^6$ выходит за 4-й порядок): $$(1+u)^{1/2}=1+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+\ldots=1+\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{128}+\ldots$$

Умножим на $2$: $$\sqrt{4+x^2}=2+\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{64}+\ldots$$

$$\boxed{P_4(x)=2+\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{64}.}$$