Даны прямоугольные параллелепипеды, в основании которых лежат квадраты. Объём каждого параллелепипеда равен $4$. Найти параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить его периметр.

(Боковая грань — прямоугольник со сторонами $a$ (сторона квадрата основания) и $h$ (высота); объём $a^2h=4$; периметр боковой грани $P=2(a+h)$, минимизировать по $a>0$.)

Из условия постоянства объёма: $a^2h=4 \Rightarrow h=\dfrac{4}{a^2}$, $a>0$.

Периметр боковой грани как функция одной переменной $a$: $$P(a)=2(a+h)=2\left(a+\frac{4}{a^2}\right)=2a+\frac{8}{a^2}.$$

Найдём производную: $$P'(a)=2-\frac{16}{a^3}.$$ Приравняем к нулю: $$2=\frac{16}{a^3} \quad\Rightarrow\quad a^3=8 \quad\Rightarrow\quad a=2.$$

Проверим характер точки: $$P''(a)=\frac{48}{a^4}>0 \text{ при всех } a>0,$$ значит функция $P(a)$ всюду выпукла вниз, и $a=2$ — точка глобального минимума на $(0,+\infty)$ (при $a\to0^+$ и $a\to+\infty$ имеем $P(a)\to+\infty$, что подтверждает минимальность).

Находим высоту: $$h=\frac{4}{a^2}=\frac{4}{4}=1.$$

Проверка объёма: $a^2h=4\cdot1=4$ ✓.

Минимальный периметр боковой грани: $$P_{min}=2(a+h)=2(2+1)=6.$$

$$\boxed{a=2,\ h=1,\qquad P_{min}=6.}$$