Проанализировать функцию $f(x)=x^3-3x^2+4$. Построить примерный график.

1. Область определения. $D(f)=\mathbb{R}$ (многочлен).

2. Чётность/нечётность. $f(-x)=-x^3-3x^2+4\ne\pm f(x)$ — функция общего вида.

3. Асимптоты. Многочлен не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.

4. Поведение на бесконечности. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

5. Нули функции. Разложим на множители: $x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2$ (проверяется раскрытием скобок). Корни: $x=-1$ (простой) и $x=2$ (кратности 2, график касается оси абсцисс).

6. Монотонность и экстремумы. $$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$ $f'(x)=0$ при $x=0$ и $x=2$. $$f'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } 0<x<2,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>2.$$ Функция возрастает на $(-\infty,0]$, убывает на $[0,2]$, возрастает на $[2,+\infty)$. Локальный максимум в $x=0$: $f(0)=4$. Локальный минимум в $x=2$: $f(2)=0$.

7. Выпуклость/вогнутость. $$f''(x)=6x-6=6(x-1).$$ $f''(x)<0$ при $x<1$ (график выпуклый вверх), $f''(x)>0$ при $x>1$ (выпуклый вниз). Точка перегиба: $x=1$, $f(1)=1-3+4=2$.

8. Примерный график. Кубическая парабола: приходит из $-\infty$, возрастая, достигает локального максимума в точке $(0,4)$, убывает до локального минимума в точке $(2,0)$ (где график касается оси $Ox$), затем снова возрастает до $+\infty$; при переходе через точку перегиба $(1,2)$ выпуклость меняется с «вверх» на «вниз».

Возрастает на $(-\infty,0]\cup[2,+\infty)$, убывает на $[0,2]$; $x_{max}=0$, $f_{max}=4$; $x_{min}=2$, $f_{min}=0$; точка перегиба $(1,2)$; выпукла вверх при $x<1$, выпукла вниз при $x>1$.