Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти частные производные первого порядка функции $$ f(x,y) = x^y \quad (x>0). $$

По $x$ (при постоянном $y$) функция $x^y$ — обычная степенная функция от $x$ с показателем $y$: $$ f_x = y\,x^{y-1}. $$

По $y$ (при постоянном $x$) функция $x^y = e^{y\ln x}$ — показательная функция от $y$ с основанием $x$. Используем формулу $(a^y)' = a^y\ln a$ с $a=x$: $$ f_y = x^y\ln x. $$

$$ \boxed{f_x = y\,x^{y-1}, \qquad f_y = x^y\ln x} $$