Найти частные производные первого порядка функции $$ f(x,y) = \ln(x+y^2). $$

По $x$ (при постоянном $y$): внутренняя производная по $x$ от $x+y^2$ равна $1$. $$ f_x = \frac{1}{x+y^2}. $$

По $y$ (при постоянном $x$): внутренняя производная по $y$ от $x+y^2$ равна $2y$. $$ f_y = \frac{2y}{x+y^2}. $$

$$ \boxed{f_x = \dfrac{1}{x+y^2}, \qquad f_y = \dfrac{2y}{x+y^2}} $$