Найти частные производные первого порядка функции $$ f(x,y) = xy + \frac{x}{y^2}. $$

По $x$ (при постоянном $y$): обе слагаемые линейны по $x$. $$ f_x = y + \frac{1}{y^2}. $$

По $y$ (при постоянном $x$): $xy$ даёт $x$; во втором слагаемом $x\cdot y^{-2}$ дифференцируем степень $y^{-2}$: $$ f_y = x + x\cdot(-2)y^{-3} = x - \frac{2x}{y^3}. $$

$$ \boxed{f_x = y+\dfrac{1}{y^2}, \qquad f_y = x-\dfrac{2x}{y^3}} $$