Найти $r'(t)$, если $$ r(t) = (e^t,\ te^t,\ 0). $$

Первая и третья компоненты дифференцируются напрямую, вторая — по правилу произведения: $$ (e^t)'=e^t, \qquad (te^t)' = e^t+te^t = e^t(1+t), \qquad 0'=0. $$

$$ r'(t) = \bigl(e^t,\ e^t(1+t),\ 0\bigr). $$

$$ \boxed{r'(t) = \bigl(e^t,\ e^t(1+t),\ 0\bigr)} $$