Точка движется по координатной прямой по закону $x(t)=2+2t+t^2$, где $x(t)$ — координата точки (в метрах) в момент времени $t$ (в секундах). В какой момент времени скорость точки будет равна 5 м/с?

Мгновенная скорость точки — это производная координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. Это прямое следствие физического смысла производной: производная функции пути (координаты) по времени равна мгновенной скорости.

$$ v(t) = x'(t) = (2+2t+t^2)' = 2+2t. $$

По условию нужно найти $t$, при котором $v(t)=5$: $$ 2+2t = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2t = 3 \quad\Longrightarrow\quad t = 1.5. $$

Значение положительное и физически допустимо (момент времени после начала движения).

$$ \boxed{t = 1.5\text{ с}} $$