Пользуясь тождеством $e^{\ln x}=x$ и правилом дифференцирования обратной функции, вывести формулу производной $(\ln x)'$.

Тождество $e^{\ln x} = x$ выполняется для всех $x>0$. Продифференцируем обе части по $x$, применяя цепное правило к левой части (внешняя функция $e^u$, внутренняя $u=\ln x$):

$$ \left(e^{\ln x}\right)' = e^{\ln x}\cdot(\ln x)' = 1' = 1. $$

Так как $e^{\ln x}=x$, получаем: $$ x\cdot(\ln x)' = 1 \quad\Longrightarrow\quad (\ln x)' = \frac1x. $$

$$ \boxed{(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} $$