Найти производную функции $$ f(x) = \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac12\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) $$ (понадобится как первообразная в теме интегралов).

Дифференцируем первое слагаемое по правилу произведения: $$ \left(\frac x2\sqrt{1+x^2}\right)' = \frac12\sqrt{1+x^2} + \frac x2\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac12\left[\sqrt{1+x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\right] = \frac{1+2x^2}{2\sqrt{1+x^2}}. $$

Второе слагаемое — из задачи 1.4.1 (с точностью до множителя $1/2$): $$ \left(\frac12\ln(x+\sqrt{x^2+1})\right)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}. $$

Складываем: $$ f'(x) = \frac{1+2x^2}{2\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} = \frac{2+2x^2}{2\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2}. $$

Таким образом, $f(x)$ — первообразная для $\sqrt{1+x^2}$.

$$ \boxed{f'(x) = \sqrt{1+x^2}} $$