Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти производную функции $f(x) = x^x$ ($x>0$).

Показательно-степенная функция — используем логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем: $$ \ln f = x\ln x. $$

Дифференцируем обе части по $x$ (правая часть — произведение): $$ \frac{f'}{f} = \ln x + x\cdot\frac1x = \ln x + 1. $$

$$ f'(x) = f(x)(\ln x+1) = x^x(\ln x+1). $$

$$ \boxed{f'(x) = x^x(\ln x+1)} $$