Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти производную функции $$ f(x) = \ln\bigl(\sin(\sqrt{2x})\bigr). $$

Тройная композиция $\ln \to \sin \to \sqrt{\phantom{x}}$.

$$ \left(\sqrt{2x}\right)' = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}. $$

$$ \left(\sin(\sqrt{2x})\right)' = \cos(\sqrt{2x})\cdot\frac{1}{\sqrt{2x}}. $$

$$ f'(x) = \frac{1}{\sin(\sqrt{2x})}\cdot\cos(\sqrt{2x})\cdot\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{\mathrm{ctg}(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}. $$

$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{\mathrm{ctg}(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}} $$