Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти производную функции $$ f(x) = e^{e^{e^x}}. $$

Тройная композиция, дифференцируем по цепному правилу трижды.

$(e^x)'=e^x$.

$\left(e^{e^x}\right)' = e^{e^x}\cdot e^x$.

$$ f'(x) = e^{e^{e^x}}\cdot\left(e^{e^x}\right)' = e^{e^{e^x}}\cdot e^{e^x}\cdot e^x. $$

$$ \boxed{f'(x) = e^x\, e^{e^x}\, e^{e^{e^x}}} $$