Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

Найти производную функции $$ f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}. $$

Дифференцируем «изнутри наружу», последовательно применяя правило для $\sqrt{\phantom{x}}$.

Внутренний слой: $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$.

Средний слой $v = x+\sqrt x$: $$ \left(\sqrt{x+\sqrt x}\right)' = \frac{v'}{2\sqrt v} = \frac{1+\dfrac{1}{2\sqrt x}}{2\sqrt{x+\sqrt x}}. $$

Внешний слой $u = x+\sqrt{x+\sqrt x}$, $u' = 1 + \left(\sqrt{x+\sqrt x}\right)'$: $$ u' = 1 + \frac{1+\dfrac{1}{2\sqrt x}}{2\sqrt{x+\sqrt x}}. $$

Наконец, $$ f'(x) = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{1 + \dfrac{1+\dfrac{1}{2\sqrt x}}{2\sqrt{x+\sqrt x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}. $$

$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{1 + \dfrac{1+\frac{1}{2\sqrt x}}{2\sqrt{x+\sqrt x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}} $$