Найти производную функции $$ f(x) = x\sin(x)e^x. $$

Функция — произведение трёх сомножителей: $u=x$, $v=\sin x$, $w=e^x$. Правило произведения для трёх множителей: $$ (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'. $$

$$ f'(x) = 1\cdot\sin x\cdot e^x + x\cdot\cos x\cdot e^x + x\cdot\sin x\cdot e^x. $$

Выносим общий множитель $e^x$: $$ f'(x) = e^x\left[\sin x + x\cos x + x\sin x\right] = e^x\left[\sin x(1+x) + x\cos x\right]. $$

$$ \boxed{f'(x) = e^x\left[(1+x)\sin x + x\cos x\right]} $$