Найти производную функции $$ f(x) = x^3 e^x + \mathrm{tg}(x). $$

Функция — сумма двух слагаемых, первое из которых является произведением $x^3$ и $e^x$.

Применяем правило произведения $(uv)'=u'v+uv'$ к первому слагаемому: $$ (x^3 e^x)' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2 e^x (x+3). $$

Табличная производная тангенса: $$ (\mathrm{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}. $$

Складываем: $$ f'(x) = x^2 e^x (x+3) + \frac{1}{\cos^2 x}. $$

$$ \boxed{f'(x) = x^2 e^x (x+3) + \dfrac{1}{\cos^2 x}} $$