Эрмитовым (или унитарным) пространством будем называть линейное пространство $V$ над комплексным полем $\mathbb{C}$ с определённой на нём функцией $\left(,\right):V^{2}\to\mathbb{R},$ называемой скалярным произведением:

$\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\overline{\boldsymbol{x}}^{T}G\boldsymbol{y}=x^{\dagger}Gy=\sum_{i}\sum_{j}\overline{x}^{i}g_{ij}y^{j},$

где $G=G^{\dagger}=g_{ij}=\left(\boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j}\right)$ — матрица Грамма и мы определили операцию «кинжал» $G^{\dagger}=\overline{G}^{T},$ которая является применяется к исходной матрице $G$ транспонированием и взятием комплексного сопряжения для каждого элемента матрицы.

Если линейное пространство построено над полем вещественных чисел, то это евклидово пространство.

При определённом выше скалярное умножение линейно по второму аргументу

$\left(\boldsymbol{x},\alpha\boldsymbol{y}+\beta\boldsymbol{z}\right)=\alpha\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+\beta\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)$

и анти-линейно по первому:

$\left(\alpha\boldsymbol{y}+\beta\boldsymbol{z},\boldsymbol{x}\right)=\overline{\alpha}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right)+\overline{\beta}\left(\boldsymbol{z},\boldsymbol{x}\right)$

такое умножение не коммутативно:

$\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\overline{\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right)}$

за счёт чего достигается положительная определённость

$\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)\geqslant0,$ а равенство $\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)=0$ выполняется только при $\boldsymbol{x}=0.$

Для оператора $A$ оператор $A^{*}$ называется сопряжённым если для произвольных векторов $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in L$ справедливо равенство $\left(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right).$ Легко показать, что $A^{*}=G^{-1}A^{\dagger}G$:

$\left(A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\overline{(A\boldsymbol{x})}^{T}G\boldsymbol{y}=\overline{(\boldsymbol{x})}^{T}\overline{(A)}^{T}G\boldsymbol{y}=GA^{*}\boldsymbol{y},$ следовательно, $\overline{(A)}^{T}G=GA^{*}$ и, окончательно, $A^{*}=G^{-1}\overline{(A)}^{T}G=G^{-1}A^{\dagger}G.$

Для сопряжённого оператора $A^{*}$ справедливо: $(A^{*})^{*}=A$, а спектр $\text{Spec}(A^{*})=\overline{\text{Spec}(A)}$.

Если у оператора $A$ имеется инвариантное подпространство $A\left(L\right)\subseteq L,$то для сопряжённого оператора $A^{*}$ инвариантным будет его ортогональное дополнение $A^{*}\left(L^{\bot}\right)\subseteq L^{\bot}.$

Операторы можно разделить на классы:

1. эрмитовы (самосопряжённые) $A^{*}=A;$

2. косоэрмитовы (кососамосопряжённые) $A^{*}=-A;$

3. унитарные (изометричные) $A^{*}=A^{-1}.$

Если операторы рассматриваются на евклидовом пространстве (над полем вещественных чисел), то их называют симметричные, кососимметричные и ортогональные. Все эти операторы являются \guillemotleft нормальными\guillemotright{} для которых выполняется равенство $A^{*}A=AA^{*}.$