Найти все значения $\lambda$, при которых вектор $b$ линейно выражается через векторы $a_1,a_2,a_3$: $$a_1=(2,3,5),\quad a_2=(3,7,8),\quad a_3=(1,-6,1),\quad b=(7,-2,\lambda).$$

Равенство $b=x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3$ — это система (векторы записаны столбцами): $$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&1&7\\3&7&-6&-2\\5&8&1&\lambda\end{array}\right).$$ Вектор $b$ выражается через $a_1,a_2,a_3$ тогда и только тогда, когда система совместна.

Определитель системы: $$\begin{vmatrix}2&3&1\\3&7&-6\\5&8&1\end{vmatrix}=2(7+48)-3(3+30)+(24-35)=110-99-11=0,$$ так что векторы $a_1,a_2,a_3$ линейно зависимы. Действительно, $a_3=5a_1-3a_2$: $(10-9,\ 15-21,\ 25-24)=(1,-6,1)$.

Поэтому достаточно выяснить, когда $b$ выражается через $a_1,a_2$ (они не пропорциональны). Из первых двух координат: $$\begin{cases}2x_1+3x_2=7\\3x_1+7x_2=-2\end{cases}\Rightarrow x_1=\frac{49+6}{5}=11,\quad x_2=\frac{-4-21}{5}=-5.$$ Третья координата должна совпасть: $\lambda=5\cdot11+8\cdot(-5)=15$.

При $\lambda=15$: $b=11a_1-5a_2$. При $\lambda\ne15$ система несовместна (ранг расширенной матрицы равен $3$, а ранг основной — $2$).

$\lambda=15$.