Условие: Написать уравнения касательных к эллипсу $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1,$$ параллельных прямой $x + y - 1 = 0$.
Решение:
Прямая $x + y - 1 = 0$ имеет угловой коэффициент $k = -1$ (так как $y = -x + 1$). Искомые касательные параллельны данной прямой, поэтому их угловой коэффициент также равен $k = -1$.
Уравнение касательной к эллипсу с угловым коэффициентом $k$ имеет вид: $$y = kx \pm \sqrt{a^2 k^2 + b^2},$$ где $a^2 = 16$, $b^2 = 9$.
Подставляем $k = -1$: $$\sqrt{a^2 k^2 + b^2} = \sqrt{16 \cdot 1 + 9} = \sqrt{25} = 5.$$
Получаем две касательные: $$y = -x + 5 \quad \text{и} \quad y = -x - 5.$$
Запишем их в общем виде: $$x + y - 5 = 0, \quad x + y + 5 = 0.$$
Ответ: $\boxed{x + y - 5 = 0}$ и $\boxed{x + y + 5 = 0}$.