Условие: Написать уравнение эллипса, для которого прямые \(x + y - 1 = 0\) и \(x - y + 1 = 0\) суть соответственно большая и малая оси и длины полуосей которого \(a = 2\), \(b = 1\).
Решение:
Найдём центр эллипса — точку пересечения осей: \[ \begin{cases} x + y - 1 = 0,\\ x - y + 1 = 0. \end{cases} \] Складывая уравнения, получаем \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\), тогда \(y = 1\). Центр \(O'(0, 1)\).
Оси взаимно перпендикулярны, так как нормальные векторы \((1,1)\) и \((1,-1)\) ортогональны.
Выберем направления осей: - Большая ось (прямая \(x + y - 1 = 0\)) имеет направляющий вектор, перпендикулярный нормали \((1,1)\), например \(\vec{e}_1 = (1, -1)\). Нормируем: \(\vec{e}_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\). - Малая ось (прямая \(x - y + 1 = 0\)) имеет направляющий вектор \(\vec{e}_2 = (1, 1)\), нормированный: \(\vec{e}_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).
Тогда координаты \((X, Y)\) точки относительно центра, где \(X\) — расстояние вдоль большой оси, \(Y\) — вдоль малой, связаны с исходными координатами: \[ \begin{cases} x = X \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + Y \cdot \frac{1}{\sqrt{2}},\\ y - 1 = -X \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + Y \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}. \end{cases} \] Отсюда выражаем \(X\) и \(Y\): \[ X = \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}},\quad Y = \frac{x + y - 1}{\sqrt{2}}. \]
Уравнение эллипса в системе \((X, Y)\): \[ \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{X^2}{4} + Y^2 = 1. \] Подставляем выражения: \[ \frac{(x - y + 1)^2}{2 \cdot 4} + \frac{(x + y - 1)^2}{2} = 1, \] \[ \frac{(x - y + 1)^2}{8} + \frac{(x + y - 1)^2}{2} = 1. \] Умножаем на 8: \[ (x - y + 1)^2 + 4(x + y - 1)^2 = 8. \] Раскрываем скобки: \[ (x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y + 1) + 4(x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1) = 8, \] \[ x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y + 1 + 4x^2 + 8xy + 4y^2 - 8x - 8y + 4 = 8, \] \[ 5x^2 + 6xy + 5y^2 - 6x - 10y + 5 = 8, \] \[ 5x^2 + 6xy + 5y^2 - 6x - 10y - 3 = 0. \]
Ответ: \(\boxed{5x^2 + 6xy + 5y^2 - 6x - 10y - 3 = 0}\).