Условие: Составить каноническое уравнение параболы, определяемой уравнением $$\rho = \frac{6}{1 - \cos \varphi}.$$
Решение:
Перейдем к декартовым координатам, используя формулы: $$x = \rho \cos \varphi,\quad y = \rho \sin \varphi,\quad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \cos \varphi = \frac{x}{\rho}.$$
Подставим выражение для косинуса в данное уравнение: $$\rho = \frac{6}{1 - \frac{x}{\rho}} = \frac{6}{\frac{\rho - x}{\rho}} = \frac{6\rho}{\rho - x}.$$
При $\rho \neq 0$ умножим обе части на $\rho - x$: $$\rho(\rho - x) = 6\rho \quad \Rightarrow \quad \rho - x = 6 \quad \Rightarrow \quad \rho = x + 6.$$
Возведем последнее равенство в квадрат: $$x^2 + y^2 = (x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36.$$
Сокращаем $x^2$: $$y^2 = 12x + 36 = 12(x + 3).$$
Получили уравнение параболы, сдвинутой вдоль оси $Ox$. Ее вершина находится в точке $(-3, 0)$. Чтобы получить каноническое уравнение, выполним параллельный перенос начала координат в вершину. Положим $$x' = x + 3,\quad y' = y.$$ Тогда уравнение принимает вид $$y'^2 = 12x'.$$
Опуская штрихи, записываем каноническое уравнение параболы: $$\boxed{y^2 = 12x}.$$
Ответ: $y^2 = 12x$.