8.2. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра $ \lambda $:
б) $$ \begin{cases} -6x_1 + 8x_2 - 5x_3 - x_4 = 9, \\ -2x_1 + 4x_2 + 7x_3 + 3x_4 = 1, \\ -3x_1 + 5x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 3, \\ -3x_1 + 7x_2 + 17x_3 + 7x_4 = \lambda; \end{cases} $$
в) $$ \begin{cases} 2x_1 + 5x_2 + x_3 + 3x_4 = 2, \\ 4x_1 + 6x_2 + 3x_3 + 5x_4 = 4, \\ 4x_1 + 14x_2 + x_3 + 7x_4 = 4, \\ 2x_1 - 3x_2 + 3x_3 + \lambda x_4 = 7; \end{cases} $$
Даны две системы линейных уравнений, зависящие от параметра $\lambda$:
Система 3: \[ \begin{cases} (1+\lambda)x_1 + x_2 + x_3 = 1,\\ x_1 + (1+\lambda)x_2 + x_3 = \lambda,\\ x_1 + x_2 + (1+\lambda)x_3 = \lambda^2. \end{cases} \]
Система u: \[ \begin{cases} (1+\lambda)x_1 + x_2 + x_3 = \lambda^2 + 3\lambda,\\ x_1 + (1+\lambda)x_2 + x_3 = \lambda^3 + 3\lambda^2,\\ x_1 + x_2 + (1+\lambda)x_3 = \lambda^4 + 3\lambda^3. \end{cases} \]
Матрица системы $A(\lambda)$ одинакова для обоих случаев: \[ A(\lambda) = \begin{pmatrix} 1+\lambda & 1 & 1\\ 1 & 1+\lambda & 1\\ 1 & 1 & 1+\lambda \end{pmatrix} = (1+\lambda)I + J,\quad J=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}. \]
Собственные значения $A(\lambda)$: $\lambda+4$ (кратность 1) и $1+\lambda$ (кратность 2). Определитель $\det A(\lambda) = (\lambda+4)(1+\lambda)^2$.
Таким образом, при $\lambda \neq -4,\,-1$ система имеет единственное решение. При $\lambda = -1$ и $\lambda = -4$ определитель равен нулю, и требуется исследовать разрешимость по альтернативе Фредгольма.
— ### 1. Система 3
#### $\lambda = -1$ $A = J$ (все единицы). Однородная система $Jx=0$: $x_1+x_2+x_3=0$. Решения однородной системы: любое $x$, ортогональное вектору $(1,1,1)$. Условие разрешимости неоднородной системы: $b$ должен быть ортогонален всем решениям однородной, т.е. $b$ коллинеарен $(1,1,1)$. При $\lambda=-1$: $b = (1,\,-1,\,1)$. Этот вектор не кратен $(1,1,1)$, так как компоненты не равны. Следовательно, решений нет.
#### $\lambda = -4$ $A = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$. Однородная система: $Ax=0$ имеет одномерное пространство решений $\operatorname{span}\{(1,1,1)\}$ (проверяется подстановкой). Условие разрешимости: $(b,\,(1,1,1)) = 0$. При $\lambda=-4$: $b = (1,\,-4,\,16)$. Скалярное произведение: $1-4+16=13 \neq 0$. Решений нет.
Вывод для системы 3: При $\lambda \neq -4,\,-1$ – единственное решение; При $\lambda = -1$ или $\lambda = -4$ – решений нет.
— ### 2. Система u
#### $\lambda = -1$ $A = J$. $b = (\lambda^2+3\lambda,\;\lambda^3+3\lambda^2,\;\lambda^4+3\lambda^3) = (-2,\;2,\;-2)$. Вектор $(-2,2,-2)$ не кратен $(1,1,1)$, следовательно, решений нет.
#### $\lambda = -4$ $A = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$. $b = (16-12,\;-64+48,\;256-192) = (4,\;-16,\;64)$. Скалярное произведение с $(1,1,1)$: $4-16+64=52 \neq 0$. Решений нет.
Вывод для системы u: При $\lambda \neq -4,\,-1$ – единственное решение; При $\lambda = -1$ или $\lambda = -4$ – решений нет.
— Таким образом, обе системы разрешимы (и имеют единственное решение) для всех $\lambda$, кроме $\lambda = -1$ и $\lambda = -4$, при которых они несовместны.