Дана аффинная система координат $Oxyz$. Новая система $O'x'y'z'$ задана координатными плоскостями: - $O'y'z'$: $x + 1 = 0$, - $O'z'x'$: $2x - y = 0$, - $O'x'y'$: $x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Единичная точка $E'$ новой системы имеет в старой системе координаты $(1,3,5)$. Требуется выразить новые координаты произвольной точки $M$ через её старые координаты.

Найдём начало $O'$ новой системы как пересечение трёх плоскостей: \[ \begin{cases} x + 1 = 0,\\ 2x - y = 0,\\ x + 2y + 3z - 6 = 0. \end{cases} \] Из первого: $x = -1$. Из второго: $2(-1) - y = 0 \Rightarrow y = -2$. Из третьего: $-1 + 2(-2) + 3z - 6 = 0 \Rightarrow -1 -4 + 3z -6 = 0 \Rightarrow 3z = 11 \Rightarrow z = \frac{11}{3}$. Таким образом, \[ O' = \left(-1,\ -2,\ \frac{11}{3}\right). \]

Плоскости $x'=0$, $y'=0$, $z'=0$ задаются соответственно уравнениями $x+1=0$, $2x-y=0$, $x+2y+3z-6=0$. Поэтому новые координаты пропорциональны этим линейным формам, обращающимся в нуль в $O'$: \[ x' = A(x+1),\qquad y' = B(2x-y),\qquad z' = C(x+2y+3z-6), \] где $A,B,C$ — ненулевые постоянные.

Определим их из условия, что единичная точка $E'(1,3,5)$ имеет в новой системе координаты $(1,3,5)$: \[ \begin{aligned} 1 &= A(1+1) = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2},\\ 3 &= B(2\cdot1 - 3) = B(-1) \Rightarrow B = -3,\\ 5 &= C(1 + 2\cdot3 + 3\cdot5 - 6) = C(1+6+15-6) = 16C \Rightarrow C = \frac{5}{16}. \end{aligned} \]

Подставляя найденные коэффициенты, получаем искомые формулы: \[ \boxed{ \begin{aligned} x' &= \frac{1}{2}(x+1),\\ y' &= -3(2x - y) = -6x + 3y,\\ z' &= \frac{5}{16}(x + 2y + 3z - 6). \end{aligned}} \]