Пусть дан тетраэдр $OABC$. В исходной системе координат (с началом в $O$) введём векторы: \[ \mathbf{a} = \overrightarrow{OA},\quad \mathbf{b} = \overrightarrow{OB},\quad \mathbf{c} = \overrightarrow{OC}. \] Точки $D, E, F$ — центры масс (точки пересечения медиан) граней $BOC$, $COA$, $AOB$ соответственно: \[ \overrightarrow{OD} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{3},\quad \overrightarrow{OE} = \frac{\mathbf{c} + \mathbf{a}}{3},\quad \overrightarrow{OF} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{3}. \]

Новая система координат имеет то же начало $O$, а её базисные векторы: \[ \mathbf{e}_1' = \overrightarrow{OD},\quad \mathbf{e}_2' = \overrightarrow{OE},\quad \mathbf{e}_3' = \overrightarrow{OF}. \]

Требуется найти координаты вершин $O$, $A$, $B$, $C$ в этой новой системе.

Очевидно, $O$ имеет координаты $(0,0,0)$.

Для вершины $A$: ищем числа $x_A, y_A, z_A$ такие, что \[ \mathbf{a} = x_A \mathbf{e}_1' + y_A \mathbf{e}_2' + z_A \mathbf{e}_3' = \frac{x_A}{3}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) + \frac{y_A}{3}(\mathbf{c}+\mathbf{a}) + \frac{z_A}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}). \] Приводя подобные, получаем: \[ \mathbf{a} = \frac{1}{3}\bigl( (y_A + z_A)\mathbf{a} + (x_A + z_A)\mathbf{b} + (x_A + y_A)\mathbf{c} \bigr). \] Так как $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ линейно независимы, коэффициенты при них должны удовлетворять: \[ \begin{cases} y_A + z_A = 3,\\ x_A + z_A = 0,\\ x_A + y_A = 0. \end{cases} \] Решая систему, находим $x_A = -\frac{3}{2}$, $y_A = \frac{3}{2}$, $z_A = \frac{3}{2}$.

Аналогично для вершины $B$: \[ \mathbf{b} = \frac{1}{3}\bigl( (y_B + z_B)\mathbf{a} + (x_B + z_B)\mathbf{b} + (x_B + y_B)\mathbf{c} \bigr) \] приводит к системе: \[ \begin{cases} y_B + z_B = 0,\\ x_B + z_B = 3,\\ x_B + y_B = 0, \end{cases} \] откуда $x_B = \frac{3}{2}$, $y_B = -\frac{3}{2}$, $z_B = \frac{3}{2}$.

Для вершины $C$: \[ \mathbf{c} = \frac{1}{3}\bigl( (y_C + z_C)\mathbf{a} + (x_C + z_C)\mathbf{b} + (x_C + y_C)\mathbf{c} \bigr) \] даёт: \[ \begin{cases} y_C + z_C = 0,\\ x_C + z_C = 0,\\ x_C + y_C = 3, \end{cases} \] откуда $x_C = \frac{3}{2}$, $y_C = \frac{3}{2}$, $z_C = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, координаты вершин в новой системе: \[ \boxed{O(0,0,0),\quad A\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right),\quad B\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right),\quad C\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)}. \]

Можно также записать, умножив на 2: \[ O(0,0,0),\quad A(-3,3,3)/2,\quad B(3,-3,3)/2,\quad C(3,3,-3)/2. \]