Пусть первая система координат имеет начало в вершине $A$ параллелепипеда, а базисные векторы $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ направлены вдоль трёх рёбер, выходящих из $A$. Тогда противоположная вершина $B$ (не инцидентная $A$) имеет координаты $(1,1,1)$ в первой системе, т.е. $B = A + \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3$.

Вторая система координат имеет начало в $B$, а её базисные векторы $\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3$ параллельны соответствующим рёбрам, но направлены противоположно, т.е. $\mathbf{f}_i = -\mathbf{e}_i$.

Произвольная точка $P$ в первой системе имеет координаты $(x,y,z)$, что означает \[ \overrightarrow{AP} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2 + z\mathbf{e}_3. \] Во второй системе та же точка имеет координаты $(x',y',z')$, так что \[ \overrightarrow{BP} = x'\mathbf{f}_1 + y'\mathbf{f}_2 + z'\mathbf{f}_3 = -x'\mathbf{e}_1 - y'\mathbf{e}_2 - z'\mathbf{e}_3. \] Но $\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = -\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 + x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2 + z\mathbf{e}_3 = (x-1)\mathbf{e}_1 + (y-1)\mathbf{e}_2 + (z-1)\mathbf{e}_3$. Сравнивая с предыдущим выражением, получаем: \[ \begin{cases} x-1 = -x',\\ y-1 = -y',\\ z-1 = -z', \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x' = 1 - x,\\ y' = 1 - y,\\ z' = 1 - z. \end{cases} \]

Обратные формулы: \[ \begin{cases} x = 1 - x',\\ y = 1 - y',\\ z = 1 - z'. \end{cases} \]

Формулы преобразования координат: \[ \boxed{x' = 1 - x,\quad y' = 1 - y,\quad z' = 1 - z} \] или, что то же самое, \[ \boxed{x = 1 - x',\quad y = 1 - y',\quad z = 1 - z'}. \]