668. Написать формулы преобразования координат, принимая за новые оси \(O'x'\) и \(O'y'\) прямые \(2x + y - 4 = 0\) и \(x - y + 2 = 0\), а за единичную точку — точку \((3, 7)\).

Решение. Находим начало новой системы \(O'\) как пересечение данных прямых: \[ \begin{cases} 2x + y - 4 = 0,\\ x - y + 2 = 0. \end{cases} \] Складывая уравнения, получаем \(3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\), тогда \(y = x + 2 = \frac{8}{3}\). Итак, \(O'\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right)\).

Направляющие векторы осей: для прямой \(2x + y - 4 = 0\) можно взять вектор \(\vec{a} = (1, -2)\) (перпендикулярный нормали \((2,1)\)); для прямой \(x - y + 2 = 0\) — вектор \(\vec{b} = (1, 1)\) (перпендикулярный нормали \((1,-1)\)).

Единичная точка \(M(3,7)\) в новой системе имеет координаты \((1,1)\), поэтому \[ \overrightarrow{O'M} = (3 - \frac{2}{3},\; 7 - \frac{8}{3}) = \left(\frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right) = \vec{e}_1 + \vec{e}_2, \] где \(\vec{e}_1\) и \(\vec{e}_2\) — базисные векторы новой системы, направленные вдоль осей. Пусть \(\vec{e}_1 = \alpha (1,-2)\), \(\vec{e}_2 = \beta (1,1)\). Тогда \[ \alpha(1,-2) + \beta(1,1) = \left(\frac{7}{3}, \frac{13}{3}\right). \] Получаем систему: \[ \begin{cases} \alpha + \beta = \frac{7}{3},\\ -2\alpha + \beta = \frac{13}{3}. \end{cases} \] Вычитая из первого второе: \(3\alpha = -2 \Rightarrow \alpha = -\frac{2}{3}\), затем \(\beta = \frac{7}{3} + \frac{2}{3} = 3\). Таким образом, \[ \vec{e}_1 = \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right),\quad \vec{e}_2 = (3,3). \]

Теперь для произвольной точки \(M\) со старыми координатами \((x,y)\) и новыми \((x',y')\) имеем: \[ (x,y) = O' + x'\vec{e}_1 + y'\vec{e}_2 = \left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right) + x'\left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) + y'(3,3). \] Отсюда получаем формулы перехода от новых координат к старым: \[ \boxed{\begin{cases} x = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}x' + 3y',\\[8pt] y = \dfrac{8}{3} + \dfrac{4}{3}x' + 3y'. \end{cases}} \] Или, умножая на 3: \[ \boxed{\begin{cases} x = \dfrac{2 - 2x' + 9y'}{3},\\[8pt] y = \dfrac{8 + 4x' + 9y'}{3}. \end{cases}} \]

Обратные формулы (выражающие новые координаты через старые) можно получить, решив систему: \[ x' = \frac{y - x - 2}{2},\quad y' = \frac{2x + y - 4}{9}. \]