661. Дан параллелограмм \(OACB\). Рассмотрим две системы координат, принимая за начало обеих систем вершину параллелограмма \(O\), за единичные векторы осей \(Ox\) и \(Oy\) первой системы соответственно стороны параллелограмма \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\), а за единичные векторы осей \(Ox'\) и \(Oy'\) второй системы соответственно векторы \(\overrightarrow{OK}\) и \(\overrightarrow{OL}\) (\(K\) и \(L\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\)). Найти координаты вершин параллелограмма во второй системе.

Решение. Введём обозначения: \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\), \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\). Тогда вершины в первой системе имеют координаты: \(O(0,0)\), \(A(1,0)\), \(B(0,1)\), \(C(1,1)\). Найдём векторы \(\overrightarrow{OK}\) и \(\overrightarrow{OL}\): \[ K = \frac{A+C}{2} = \frac{\vec{u} + (\vec{u}+\vec{v})}{2} = \vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}, \quad L = \frac{B+C}{2} = \frac{\vec{v} + (\vec{u}+\vec{v})}{2} = \frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v}. \] Таким образом, во второй системе базисные векторы: \[ \vec{e}_{1}' = \overrightarrow{OK} = \vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}, \quad \vec{e}_{2}' = \overrightarrow{OL} = \frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v}. \] Выразим \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) через новый базис. Решая систему: \[ \begin{cases} \vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v} = \vec{e}_{1}' \\ \frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} = \vec{e}_{2}' \end{cases} \] получаем: \[ \vec{u} = \frac{4}{3}\vec{e}_{1}' - \frac{2}{3}\vec{e}_{2}', \quad \vec{v} = -\frac{2}{3}\vec{e}_{1}' + \frac{4}{3}\vec{e}_{2}'. \] Тогда координаты вершин во второй системе: \begin{align*} O &= \vec{0} \quad \Rightarrow (0,0), \\ A &= \vec{u} = \frac{4}{3}\vec{e}_{1}' - \frac{2}{3}\vec{e}_{2}' \quad \Rightarrow \left(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}\right), \\ B &= \vec{v} = -\frac{2}{3}\vec{e}_{1}' + \frac{4}{3}\vec{e}_{2}' \quad \Rightarrow \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right), \\ C &= \vec{u} + \vec{v} = \frac{2}{3}\vec{e}_{1}' + \frac{2}{3}\vec{e}_{2}' \quad \Rightarrow \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right). \end{align*}

Ответ: во второй системе координат вершины имеют координаты: \[ O(0,0),\quad A\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right),\quad B\left(-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right),\quad C\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right). \]