658. Написать формулы перехода от одной системы координат к другой, если началом первой системы является вершина \(A\) параллелограмма \(ABCD\), а базисом — векторы \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\); началом второй системы является вершина \(C\), а базисом — векторы \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CD}\).

Решение. В параллелограмме \(ABCD\) имеем: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Точка \(C = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). Векторы второй системы: \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}?\) Лучше выразить через векторы первой системы: \(\overrightarrow{CB} = B - C = (A + \overrightarrow{AB}) - (A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = -\overrightarrow{AD}\). \(\overrightarrow{CD} = D - C = (A + \overrightarrow{AD}) - (A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = -\overrightarrow{AB}\).

Пусть произвольная точка \(M\) имеет координаты \((x, y)\) в первой системе: \(M = A + x \overrightarrow{AD} + y \overrightarrow{AB}\). Во второй системе координаты \((u, v)\): \(M = C + u \overrightarrow{CB} + v \overrightarrow{CD} = (A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + u(-\overrightarrow{AD}) + v(-\overrightarrow{AB}) = A + (1 - u)\overrightarrow{AD} + (1 - v)\overrightarrow{AB}\). Сравнивая, получаем: \(x = 1 - u,\quad y = 1 - v\). Отсюда обратно: \(u = 1 - x,\; v = 1 - y\).

Ответ: формулы перехода: \[\begin{cases} x = 1 - u \\ y = 1 - v \end{cases}\quad \text{или}\quad \begin{cases} u = 1 - x \\ v = 1 - y \end{cases}\]