Построить многочлены наименьшей степени с вещественными коэффициентами по данным корням:

a) двойной корень $1$, простые $2,3$ и $1+i$;

b) тройной корень $2-3i$;

c) двойной корень $i$, простой $-1-i$.

Так как коэффициенты должны быть вещественными, каждый невещественный корень обязан входить в многочлен вместе со своим сопряжённым (той же кратности), иначе минимальная степень не будет достигнута корректно — это и увеличивает степень по сравнению с задачей 589.

а) К корню $1+i$ добавляется сопряжённый $1-i$ (той же кратности $1$); степень $2+1+1+1+1=6$: $$p(x)=(x-1)^2(x-2)(x-3)(x^2-2x+2)=x^6-9x^5+33x^4-65x^3+74x^2-46x+12.$$

b) К тройному корню $2-3i$ добавляется тройной сопряжённый $2+3i$; степень $3+3=6$: $$p(x)=\bigl[(x-2)^2+9\bigr]^3=(x^2-4x+13)^3=x^6-12x^5+87x^4-376x^3+1131x^2-2028x+2197.$$

c) К двойному корню $i$ добавляется двойной $-i$, к простому $-1-i$ — простой $-1+i$; степень $2+2+1+1=6$: $$p(x)=(x^2+1)^2\bigl[(x+1)^2+1\bigr]=(x^2+1)^2(x^2+2x+2)=x^6+2x^5+4x^4+4x^3+5x^2+2x+2.$$

a) $(x-1)^2(x-2)(x-3)(x^2-2x+2)=x^6-9x^5+33x^4-65x^3+74x^2-46x+12$;

b) $(x^2-4x+13)^3=x^6-12x^5+87x^4-376x^3+1131x^2-2028x+2197$;

c) $(x^2+1)^2(x^2+2x+2)=x^6+2x^5+4x^4+4x^3+5x^2+2x+2$.