Составить уравнения проекции прямой \[ x = 3 + 5t,\quad y = -1 + t,\quad z = 4 + t \] на плоскость \[ 2x - 2y + 3z - 5 = 0. \]

1. Направляющий вектор прямой и точка на ней Из параметрических уравнений: направляющий вектор \(\vec{s} = (5,1,1)\). При \(t=0\) получаем точку \(M_0(3,-1,4)\) на прямой.

2. Проектирующая плоскость Проектирующая плоскость проходит через прямую и перпендикулярна заданной плоскости. Её нормаль \(\vec{n}_Q\) перпендикулярна как нормали заданной плоскости \(\vec{n}_P = (2,-2,3)\), так и направляющему вектору прямой \(\vec{s}\). Вычисляем: \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 2 & -2 & 3\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-5,\,13,\,12). \] Уравнение проектирующей плоскости через точку \(M_0\): \[ -5(x-3) + 13(y+1) + 12(z-4) = 0, \] \[ -5x + 15 + 13y + 13 + 12z - 48 = 0, \] \[ -5x + 13y + 12z - 20 = 0 \quad \text{или} \quad 5x - 13y - 12z + 20 = 0. \]

3. Уравнения проекции Проекция прямой является линией пересечения заданной плоскости и проектирующей плоскости. Получаем систему: \[ \begin{cases} 2x - 2y + 3z - 5 = 0, \\ 5x - 13y - 12z + 20 = 0. \end{cases} \]

Ответ: Уравнения проекции задаются системой \[ \boxed{\begin{cases} 2x - 2y + 3z - 5 = 0, \\ 5x - 13y - 12z + 20 = 0. \end{cases}} \]