Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости \[ x + 3y + 5z - 10 = 0 \] и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью \(Oxy\).

Плоскость \(Oxy\) задается уравнением \(z = 0\). Линия пересечения данной плоскости с плоскостью \(Oxy\) находится подстановкой \(z = 0\) в уравнение плоскости: \[ x + 3y + 5 \cdot 0 - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3y - 10 = 0, \quad z = 0. \] Таким образом, линия пересечения — прямая: \[ L: \begin{cases} x + 3y - 10 = 0, \\ z = 0. \end{cases} \]

Любая плоскость, проходящая через эту прямую, принадлежит пучку плоскостей, который можно задать уравнением: \[ x + 3y - 10 + \lambda z = 0, \] где \(\lambda\) — параметр. При любом \(\lambda\) это уравнение обращается в уравнение прямой \(L\) при \(z = 0\).

Нормальный вектор заданной плоскости: \(\mathbf{n}_1 = (1, 3, 5)\). Нормальный вектор искомой плоскости: \(\mathbf{n}_2 = (1, 3, \lambda)\) (из уравнения пучка).

Условие перпендикулярности плоскостей: \[ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0. \] Вычисляем скалярное произведение: \[ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot \lambda = 1 + 9 + 5\lambda = 10 + 5\lambda = 0. \] Отсюда: \[ 5\lambda = -10 \quad \Rightarrow \quad \lambda = -2. \]

Подставляем \(\lambda = -2\) в уравнение пучка: \[ x + 3y - 10 - 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3y - 2z - 10 = 0. \]

Уравнение искомой плоскости: \[ \boxed{x + 3y - 2z - 10 = 0} \]