Определить коэффициент $a$ так, чтобы полином $x^5-ax^2-ax+1$ имел $-1$ корнем не ниже второй кратности.

Пусть $f(x)=x^5-ax^2-ax+1$. Условие «$-1$ — корень кратности $\ge2$» означает $f(-1)=0$ и $f'(-1)=0$.

$$f(-1)=(-1)^5-a\cdot1-a\cdot(-1)+1=-1-a+a+1=0$$

— это верно при любом $a$ (то есть $-1$ является корнем $f$ независимо от $a$). Значит, условие определяется производной: $$f'(x)=5x^4-2ax-a,\qquad f'(-1)=5+2a-a=5+a.$$ Требуем $f'(-1)=0$: $$5+a=0\ \Rightarrow\ a=-5.$$

Проверка: при $a=-5$ имеем $f(x)=x^5+5x^2+5x+1$, $f(-1)=-1+5-5+1=0$, $f'(x)=5x^4+10x+5$, $f'(-1)=5-10+5=0$ — двойной корень подтверждён (а $f''(-1)=20(-1)^3+10=-10\ne0$, то есть кратность ровно $2$).

$a=-5$.