Чему равен показатель кратности корня:

a) $2$ для многочлена $x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$;

b) $-2$ для многочлена $x^5+7x^4+16x^3+8x^2-16x-16$?

Кратность корня $x_0$ равна числу последовательных делений на $(x-x_0)$ по схеме Горнера, дающих нулевой остаток.

а) Коэффициенты $[1,-5,7,-2,4,-8]$, $x_0=2$: $$[1,-5,7,-2,4,-8]\xrightarrow{r=0}[1,-3,1,0,4]\xrightarrow{r=0}[1,-1,-1,-2]\xrightarrow{r=0}[1,1,1]\xrightarrow{r=7\ne0}.$$ Три деления подряд дали остаток $0$, четвёртое — нет. Значит кратность корня $x=2$ равна $3$. (Проверка через производные: $f(2)=f'(2)=f''(2)=0$, а $f'''(2)=42\ne0$.)

b) Коэффициенты $[1,7,16,8,-16,-16]$, $x_0=-2$: $$[1,7,16,8,-16,-16]\xrightarrow{r=0}[1,5,6,-4,-8]\xrightarrow{r=0}[1,3,0,-4]\xrightarrow{r=0}[1,1,-2]\xrightarrow{r=0}[1,-1]\xrightarrow{r=-3\ne0}.$$ Четыре деления подряд дали остаток $0$. Значит кратность корня $x=-2$ равна $4$. (Проверка: $(x+2)^4(x-1)=x^5+7x^4+16x^3+8x^2-16x-16$ — совпадает с исходным многочленом.)

a) кратность $3$;

b) кратность $4$.