Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби:

a) $\dfrac{x^3-x+1}{(x-2)^5}$;

b) $\dfrac{x^4-2x^2+3}{(x+1)^5}$.

Если разложить числитель $N(x)$ по степеням $(x-a)$: $N(x)=c_4(x-a)^4+\dots+c_1(x-a)+c_0$ (коэффициенты находятся схемой Горнера, как в задаче 551), то $$\frac{N(x)}{(x-a)^5}=\frac{c_4}{x-a}+\frac{c_3}{(x-a)^2}+\frac{c_2}{(x-a)^3}+\frac{c_1}{(x-a)^4}+\frac{c_0}{(x-a)^5}.$$

а) $N(x)=x^3-x+1$, $a=2$. Коэффициенты $[1,0,-1,1]$: $$[1,0,-1,1]\to r=7,\ [1,2,3]\to r=11,\ [1,4]\to r=6,\ [1].$$ Значит $N(x)=(x-2)^3+6(x-2)^2+11(x-2)+7$ (степень $(x-2)^4$ отсутствует, $c_4=0$), и $$\frac{x^3-x+1}{(x-2)^5}=\frac1{(x-2)^2}+\frac6{(x-2)^3}+\frac{11}{(x-2)^4}+\frac7{(x-2)^5}.$$

b) $N(x)=x^4-2x^2+3$, $a=-1$. Коэффициенты $[1,0,-2,0,3]$: $$[1,0,-2,0,3]\to r=2,\ [1,-1,-1,1]\to r=0,\ [1,-2,1]\to r=4,\ [1,-3]\to r=-4,\ [1].$$ Значит $N(x)=(x+1)^4-4(x+1)^3+4(x+1)^2+0\cdot(x+1)+2$, и $$\frac{x^4-2x^2+3}{(x+1)^5}=\frac1{x+1}-\frac4{(x+1)^2}+\frac4{(x+1)^3}+\frac2{(x+1)^5}.$$

a) $\dfrac1{(x-2)^2}+\dfrac6{(x-2)^3}+\dfrac{11}{(x-2)^4}+\dfrac7{(x-2)^5}$;

b) $\dfrac1{x+1}-\dfrac4{(x+1)^2}+\dfrac4{(x+1)^3}+\dfrac2{(x+1)^5}$.