Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен $f(x)$ по степеням $x-x_0$:

a) $f(x)=x^4+2x^3-3x^2-4x+1,\quad x_0=-1$;

b) $f(x)=x^5,\quad x_0=1$;

c) $f(x)=x^4-8x^3+24x^2-50x+90,\quad x_0=2$;

d) $f(x)=x^4+2ix^3-(1+i)x^2-3x+7+i,\quad x_0=-i$;

e) $f(x)=x^4+(3-8i)x^3-(21+18i)x^2-(33-20i)x+7+18i,\quad x_0=-1+2i$.

Разложение $f(x)=c_n(x-x_0)^n+\dots+c_1(x-x_0)+c_0$ получается последовательным делением на $x-x_0$ по схеме Горнера: $c_0=f(x_0)$ — первый остаток, $c_1$ — остаток от деления первого частного, и т.д., $c_n$ — старший коэффициент $f$.

а) Последовательные деления коэффициентов $[1,2,-3,-4,1]$ на $x_0=-1$: $$[1,2,-3,-4,1]\to r=1,\ [1,1,-4,0]\to r=4,\ [1,0,-4]\to r=-3,\ [1,-1]\to r=-2,\ [1].$$ $$f(x)=(x+1)^4-2(x+1)^3-3(x+1)^2+4(x+1)+1.$$

b) По биному Ньютона сразу: $x^5=\bigl((x-1)+1\bigr)^5$: $$f(x)=(x-1)^5+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1.$$

c) Коэффициенты $[1,-8,24,-50,90]$, $x_0=2$: $$[1,-8,24,-50,90]\to r=38,\ [1,-6,12,-26]\to r=-18,\ [1,-4,4]\to r=0,\ [1,-2]\to r=0,\ [1].$$ $$f(x)=(x-2)^4+0\cdot(x-2)^3+0\cdot(x-2)^2-18(x-2)+38=(x-2)^4-18(x-2)+38.$$

d) Коэффициенты $[1,\,2i,\,-1-i,\,-3,\,7+i]$, $x_0=-i$: $$b_0=1,\ b_1=2i+(-i)=i,\ b_2=(-1-i)+i(-i)=-i,\ b_3=-3+(-i)(-i)=-4,\ r_0=(7+i)+(-4)(-i)=7+5i;$$ далее для частного $[1,i,-i,-4]$: $b_1=i-i=0,\ b_2=-i,\ r_1=-4+(-i)(-i)=-5$; для $[1,0,-i]$: $b_1=0-i=-i,\ r_2=-i+(-i)(-i)=-1-i$; для $[1,-i]$: $r_3=-i+(-i)=-2i$. $$f(x)=(x+i)^4-2i(x+i)^3+(-1-i)(x+i)^2-5(x+i)+(7+5i).$$

e) Коэффициенты $[1,\,3-8i,\,-21-18i,\,-33+20i,\,7+18i]$, $x_0=-1+2i$. Последовательные деления дают остатки $$c_0=f(x_0)=1,\quad c_1=2,\quad c_2=0,\quad c_3=-1,\quad c_4=1,$$ (проверяется прямой подстановкой), так что $$f(x)=(x+1-2i)^4-(x+1-2i)^3+2(x+1-2i)+1.$$

a) $f(x)=(x+1)^4-2(x+1)^3-3(x+1)^2+4(x+1)+1$;

b) $f(x)=(x-1)^5+5(x-1)^4+10(x-1)^3+10(x-1)^2+5(x-1)+1$;

c) $f(x)=(x-2)^4-18(x-2)+38$;

d) $f(x)=(x+i)^4-2i(x+i)^3-(1+i)(x+i)^2-5(x+i)+7+5i$;

e) $f(x)=(x+1-2i)^4-(x+1-2i)^3+2(x+1-2i)+1$.