Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, через них проходящей; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
Прямые: \[ L_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 7 + t \\ z = 3 + 4t \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} x = 6 + 3s \\ y = -1 - 2s \\ z = -2 + s \end{cases}. \]
Решение: Направляющий вектор \( L_1 \): \( \mathbf{a}_1 = (2,1,4) \), точка \( M_1(1,7,3) \). Направляющий вектор \( L_2 \): \( \mathbf{a}_2 = (3,-2,1) \), точка \( M_2(6,-1,-2) \). Векторы не коллинеарны. Проверим систему уравнений для пересечения: \[ \begin{cases} 1+2t = 6+3s \\ 7+t = -1-2s \\ 3+4t = -2+s \end{cases} \] Из первых двух уравнений находим \( t = -2, s = -3 \), подстановка в третье дает равенство. Общая точка: \( (-3,5,-5) \).
Уравнение плоскости, содержащей обе прямые: нормаль \( \mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (9,10,-7) \). Через точку \( (-3,5,-5) \): \[ 9(x+3) + 10(y-5) - 7(z+5) = 0 \;\Rightarrow\; 9x + 10y - 7z - 58 = 0. \]
Ответ: Прямые пересекаются в точке \( (-3,5,-5) \), уравнение плоскости \( 9x + 10y - 7z - 58 = 0 \).
Прямые: \[ L_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - 2t \\ z = -t \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} x = -2s \\ y = -5 + 3s \\ z = 4 \end{cases}. \]
Решение: Направляющий вектор \( L_1 \): \( \mathbf{a}_1 = (2,-2,-1) \), точка \( M_1(1,2,0) \). Направляющий вектор \( L_2 \): \( \mathbf{a}_2 = (-2,3,0) \), точка \( M_2(0,-5,4) \). Векторы не коллинеарны. Проверим систему: \[ \begin{cases} 1+2t = -2s \\ 2-2t = -5+3s \\ -t = 4 \end{cases} \] Из третьего: \( t = -4 \), подставляем в первое: \( 1-8 = -2s \Rightarrow s = 3.5 \), но второе уравнение не выполняется: \( 2+8 = 10 \neq -5+10.5 = 5.5 \). Система несовместна.
Ответ: Прямые скрещиваются.
Прямые: \[ L_1: \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 - 8t \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} x = 7 - 6s \\ y = 2 + 9s \\ z = 12s \end{cases}. \]
Решение: Направляющий вектор \( L_1 \): \( \mathbf{a}_1 = (4,-6,-8) = 2(2,-3,-4) \), точка \( M_1(2,0,-1) \). Направляющий вектор \( L_2 \): \( \mathbf{a}_2 = (-6,9,12) = 3(-2,3,4) \). Векторы коллинеарны (\( \mathbf{a}_2 = -\frac{3}{2} \mathbf{a}_1 \)). Проверим, совпадают ли прямые: точка \( M_2(7,2,0) \) не принадлежит \( L_1 \) (не получается единого \( t \)). Значит, прямые параллельны.
Уравнение плоскости, содержащей обе параллельные прямые: Вектор \( \overrightarrow{M_1M_2} = (5,2,1) \), нормаль \( \mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \overrightarrow{M_1M_2} \). \[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & -4 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (5, -22, 19). \] Уравнение через \( M_1 \): \( 5(x-2) - 22y + 19(z+1) = 0 \) \[ \Rightarrow 5x - 22y + 19z + 9 = 0. \]
Ответ: Прямые параллельны, уравнение плоскости \( 5x - 22y + 19z + 9 = 0 \).
Прямые: \[ L_1: \begin{cases} x = 1 + 9t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + 3t \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} x = 7 + 6s \\ y = 6 + 4s \\ z = 5 + 2s \end{cases}. \]
Решение: Направляющий вектор \( L_1 \): \( \mathbf{a}_1 = (9,6,3) = 3(3,2,1) \), точка \( M_1(1,2,3) \). Направляющий вектор \( L_2 \): \( \mathbf{a}_2 = (6,4,2) = 2(3,2,1) \). Векторы коллинеарны. Точка \( M_2(7,6,5) \) принадлежит \( L_1 \) (при \( t = \frac{2}{3} \)). Значит, прямые совпадают.
Ответ: Прямые совпадают.