Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:

1) $2x+3y+4z-12=0,$ $3x-6y+1=0$;

2) $3x-2y-3z+5=0,$ $9x-6y-9z-5=0$;

3) $2x-y-z-3=0,$ $10x-5y-5z-15=0$.

---

Нормаль первой плоскости $\vec{n}_{1}=\left(2,3,4\right),$ второй — $\vec{n}_{2}=\left(3,6,0\right),$ а их векторное произведение $$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & \vec{e}_{x}\\ 3 & 6 & \vec{e}_{y}\\ 4 & 0 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|\neq\vec{0}$$ — значит пересекаются.

Во втором и третьем случае векторные произведения равны нулю, следовательно, плоскости параллельны. Но т.к. в случае 3) уравнение плоскостей отличаются общим множителем, то любая точка первой плоскости, задаваемая тройкой $(x,y,z)$ принадлежит и второй плоскости, значит плоскости совпадают.