Даны вершины тетраэдра: A$=(2,1,0)$, B$=(1,3,5)$, C$=(6,3,4)$, D$=(0,-7,8)$. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую AB и равноудаленной от вершин C и D. Система координат аффинная.

---

Эта задача аналогична задаче 510 с единственным изменением — если раньше плоскость проходила через начало координат, то теперь нам надо сместить все точки на один и тот же вектор, например на вектор $\vec{a}=(2,1,0)$ перемещая точку A в начало координат:

$$\vec{r}-\vec{a}=\alpha\left(\vec{b}-\vec{a}\right)+\beta\left(\frac{1}{2}\left(\vec{c}+\vec{d}\right)-\vec{a}\right)=\alpha\left(-1,2,5\right)+\beta\left(1,-3,6\right)=\left(x-2,y-1,z\right)$$

далее получим систему уравнений:

$$-\alpha+\beta=x-2, 2\alpha-3\beta=y-1, 5\alpha+6\beta=z.$$

Следовательно, из первых двух выразим $\alpha$ и $\beta$ умножая первое на два и складывая со вторым получим $-\beta=2x+y-5$, а умножая на три и складывая вновь со вторым получим $-\alpha=3x+y-7$. Подставляя полученные значение в третье выражение получим соотношение $15x+5y-35+12x+6y+z-30=0$ и окончательно уравнение плоскости $27x+11y+z-65=0$.

Быть может найти уравнение через определитель будет проще? Посмотрим. Воспользуемся выражением вычисления объёма, построенных на вершинах 4–х векторов:

$$ \left|\begin{array}{cccc} x & x_{1} & x_{2} & x_{3}\\ y & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ z & z_{1} & z_{2} & z_{3}\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=0. $$ Подставим значения: $$ \left|\begin{array}{cccc} x & 2 & 1 & 3\\ y & 1 & 3 & -2\\ z & 0 & 5 & 6\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=27x+11y+z-65=0,$$ где последняя точка $\frac{1}{2}(C+D)$.

Теперь перейдём ко второму варианту когда вектор и плоскость не пересекаются, т.е. параллельны, тогда смешанное произведение $$\left(\vec{c}-\vec{d},\vec{b}-\vec{a},\vec{r}-\vec{a}\right)=0.$$