Дана точка $A = (1, 2, 3)$. Система координат прямоугольная.

1) Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на координатные плоскости. 2) Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на оси координат. 3) Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку $A$ и перпендикулярных к осям координат.

В прямоугольной системе координат направляющий вектор перпендикуляра к плоскости совпадает с вектором нормали к этой плоскости.

Координатная плоскость $Oxy$ (уравнение $z=0$). Нормальный вектор: $\mathbf{n}_{Oxy} = (0, 0, 1)$. Перпендикуляр проходит через $A(1,2,3)$ и имеет направляющий вектор $(0,0,1)$. Канонические уравнения: $$ \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}. $$ Параметрические уравнения: $$ \begin{cases} x = 1,\\ y = 2,\\ z = 3 + t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$

Координатная плоскость $Oxz$ (уравнение $y=0$). Нормальный вектор: $\mathbf{n}_{Oxz} = (0, 1, 0)$. Перпендикуляр: Канонические уравнения: $$ \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{0}. $$ Параметрические уравнения: $$ \begin{cases} x = 1,\\ y = 2 + t,\\ z = 3, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$

Координатная плоскость $Oyz$ (уравнение $x=0$). Нормальный вектор: $\mathbf{n}_{Oyz} = (1, 0, 0)$. Перпендикуляр: Канонические уравнения: $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{0}. $$ Параметрические уравнения: $$ \begin{cases} x = 1 + t,\\ y = 2,\\ z = 3, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$

Перпендикуляр из точки на ось — это прямая, проходящая через точку $A$ и пересекающая ось под прямым углом.

Ось $Ox$ (направляющий вектор $\mathbf{s}_x = (1,0,0)$). Пусть $B_x(t,0,0)$ — точка пересечения перпендикуляра с осью $Ox$. Вектор $\overrightarrow{B_xA} = (1-t,\; 2,\; 3)$ должен быть перпендикулярен $\mathbf{s}_x$: $$ (1-t)\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad 1-t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1. $$ Точка пересечения: $B_x(1,0,0)$. Направляющий вектор перпендикуляра: $\overrightarrow{B_xA} = (0,2,3)$. Канонические уравнения: $$ \frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-0}{3} \quad \text{или} \quad \frac{x-1}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}. $$ Параметрические уравнения: $$ \begin{cases} x = 1,\\ y = 2t,\\ z = 3t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$

Ось $Oy$ (направляющий вектор $\mathbf{s}_y = (0,1,0)$). Пусть $B_y(0,t,0)$ — точка пересечения. Вектор $\overrightarrow{B_yA} = (1,\; 2-t,\; 3)$ перпендикулярен $\mathbf{s}_y$: $$ 1\cdot 0 + (2-t)\cdot 1 + 3\cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2-t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 2. $$ Точка пересечения: $B_y(0,2,0)$. Направляющий вектор: $\overrightarrow{B_yA} = (1,0,3)$. Канонические уравнения: $$ \frac{x-0}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-0}{3} \quad \text{или} \quad \frac{x}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z}{3}. $$ Параметрические уравнения: $$ \begin{cases} x = t,\\ y = 2,\\ z = 3t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$

Ось $Oz$ (направляющий вектор $\mathbf{s}_z = (0,0,1)$). Пусть $B_z(0,0,t)$ — точка пересечения. Вектор $\overrightarrow{B_zA} = (1,\; 2,\; 3-t)$ перпендикулярен $\mathbf{s}_z$: $$ 1\cdot 0 + 2\cdot 0 + (3-t)\cdot 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3-t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 3. $$ Точка пересечения: $B_z(0,0,3)$. Направляющий вектор: $\overrightarrow{B_zA} = (1,2,0)$. Канонические уравнения: $$ \frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-3}{0} \quad \text{или} \quad \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-3}{0}. $$ Параметрические уравнения: $$ \begin{cases} x = t,\\ y = 2t,\\ z = 3, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. $$

Плоскость, перпендикулярная оси, имеет нормальный вектор, коллинеарный направляющему вектору этой оси.

Плоскость, перпендикулярная оси $Ox$ (нормаль $(1,0,0)$). Уравнение: $x = \text{const}$. Так как плоскость проходит через $A(1,2,3)$, то $x = 1$. Ответ: $x = 1$.

Плоскость, перпендикулярная оси $Oy$ (нормаль $(0,1,0)$). Уравнение: $y = \text{const}$. Через $A$: $y = 2$. Ответ: $y = 2$.

Плоскость, перпендикулярная оси $Oz$ (нормаль $(0,0,1)$). Уравнение: $z = \text{const}$. Через $A$: $z = 3$. Ответ: $z = 3$.

- На $Oxy$: $\displaystyle \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$ или $\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$. - На $Oxz$: $\displaystyle \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{0}$ или $\begin{cases} x=1, \\ z=3 \end{cases}$. - На $Oyz$: $\displaystyle \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{0}$ или $\begin{cases} y=2, \\ z=3 \end{cases}$.

- На $Ox$: $\displaystyle \frac{x-1}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$. - На $Oy$: $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z}{3}$. - На $Oz$: $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-3}{0}$.

- Перпендикулярна $Ox$: $x = 1$. - Перпендикулярна $Oy$: $y = 2$. - Перпендикулярна $Oz$: $z = 3$.