В пространстве матриц \( M_n(\mathbb{C}) \) положим

\[ (A, B) = \operatorname{tr}(A B^*), \]

где \(B^* = \overline{B}^T\) — эрмитово сопряжённая матрица.

Доказать, что:

а) \( M_n(\mathbb{C}) \) — эрмитово пространство;

б) всякая унитарная матрица в этом пространстве имеет длину \( \sqrt{n} \);

в) операторы \( X \mapsto AX \) и \( X \mapsto A^*X \) в пространстве \( M_n(\mathbb{C}) \) сопряжены;

г) оператор \( X \mapsto AX \), где \( A \) — унитарная матрица, является унитарным.

Проверим свойства эрмитова скалярного произведения.

1. Линейность по первому аргументу:

\[ (\alpha A + \beta B, C) = \operatorname{tr}((\alpha A + \beta B)C^*) = \alpha\operatorname{tr}(A C^*) + \beta\operatorname{tr}(B C^*) = \alpha(A,C) + \beta(B,C). \]

2. Сопряжённая симметрия:

\[ (B,A) = \operatorname{tr}(B A^*) = \operatorname{tr}((A B^*)^*) = \overline{\operatorname{tr}(A B^*)} = \overline{(A,B)}. \]

3. Положительная определённость:

\[ (A,A) = \operatorname{tr}(A A^*) = \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2 \ge 0, \]

причём равенство достигается только когда все \(a_{ij}=0\), т.е. \(A=0\).

Таким образом, \(M_n(\mathbb{C})\) является эрмитовым (унитарным) пространством.

Пусть \(U\) — унитарная матрица, т.е. \(U U^* = U^* U = I\). Тогда

\[ \|U\| = \sqrt{(U,U)} = \sqrt{\operatorname{tr}(U U^*)} = \sqrt{\operatorname{tr}(I)} = \sqrt{n}. \]

Рассмотрим операторы \(L_A: X \mapsto AX\) и \(L_{A^*}: X \mapsto A^*X\). Для любых \(X,Y\in M_n(\mathbb{C})\) имеем:

\[ (L_A X, Y) = \operatorname{tr}(A X Y^*) = \operatorname{tr}(X Y^* A) = \operatorname{tr}(X (A^* Y)^*) = (X, L_{A^*} Y). \]

Следовательно, \(L_A^* = L_{A^*}\), т.е. операторы сопряжены.

Пусть \(A\) унитарна: \(A^* = A^{-1}\). Из пункта (в) получаем

\[ L_A^* = L_{A^*} = L_{A^{-1}} = (L_A)^{-1}. \]

Значит, \(L_A\) — унитарный оператор.