Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2+2i \\ 2-2i & 1 \end{pmatrix} \]
Собственные значения: \(\lambda_1 = 5,\; \lambda_2 = -1\).
$\chi(\lambda)=\lambda^{2}-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1)$
$$A+E=\left(\begin{array}{cc} 4 & 2+i2\\ 2-i2 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 4 & 2\left(1+i\right)\\ 2\left(1-i\right) & 2\\ \hline 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\left(1+i\right)\\ 0 & 2\\ \hline 1 & 0\\ -\left(1-i\right) & 1 \end{array}\right)$$
Собственные векторы: Для \(\lambda_1=5\): \(v_1 = (2,\; 1-i)\). Для \(\lambda_2=-1\): \(v_2 = (1,\; -1+i)\).
Нормировка: \(\|v_1\| = \sqrt{6},\quad \|v_2\| = \sqrt{3}\).
Ортонормированный базис: \[ u_1 = \left(\frac{2}{\sqrt{6}},\; \frac{1-i}{\sqrt{6}}\right),\qquad u_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\; \frac{-1+i}{\sqrt{3}}\right). \]
Матрица в этом базисе: \[ \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -i \\ i & 3 \end{pmatrix} \]
Собственные значения: \(\lambda_1 = 2,\; \lambda_2 = 4\).
Собственные векторы: Для \(\lambda_1=2\): \(v_1 = (i,\; 1)\). Для \(\lambda_2=4\): \(v_2 = (-i,\; 1)\).
Нормировка: \(\|v_1\| = \|v_2\| = \sqrt{2}\).
Ортонормированный базис: \[ u_1 = \left(\frac{i}{\sqrt{2}},\; \frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad u_2 = \left(\frac{-i}{\sqrt{2}},\; \frac{1}{\sqrt{2}}\right). \]
Матрица в этом базисе: \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]