Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к главным осям, и записать канонический вид.
Матрица формы: $A=\begin{pmatrix}6&-2&2\\-2&5&0\\2&0&7\end{pmatrix}$.
Собственные значения: $\lambda_1=3,\ \lambda_2=6,\ \lambda_3=9$.
Соответствующие собственные векторы (ненормированные): \[ v_3=(2,2,-1),\quad v_6=(1,-2,-2),\quad v_9=(-2,1,-2). \] Они ортогональны. Нормируем (норма каждого $=3$): \[ u_3=\frac13(2,2,-1),\quad u_6=\frac13(1,-2,-2),\quad u_9=\frac13(-2,1,-2). \] Ортогональная матрица (столбцы – $u_3,u_6,u_9$): \[ Q=\frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2\\ 2 & -2 & 1\\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}. \] Канонический вид: $3y_1^2+6y_2^2+9y_3^2$.
Матрица: $A=\begin{pmatrix}11&8&2\\8&5&-10\\2&-10&2\end{pmatrix}$.
Собственные значения: $\lambda_1=9,\ \lambda_2=18,\ \lambda_3=-9$.
Собственные векторы (ненормированные): \[ v_9=(-2,1,-2),\quad v_{18}=(-2,-2,1),\quad v_{-9}=(1,-2,-2). \] Нормировка: $\|v\|=3$. Ортогональная матрица: \[ Q=\frac13\begin{pmatrix} -2 & -2 & 1\\ 1 & -2 & -2\\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}. \] Канонический вид: $9y_1^2+18y_2^2-9y_3^2$.
Матрица: $A=\begin{pmatrix}1&-3&-1\\-3&1&1\\-1&1&5\end{pmatrix}$.
Собственные значения: $\lambda_1=-2,\ \lambda_2=3,\ \lambda_3=6$.
Собственные векторы (ненормированные): \[ v_{-2}=(1,1,0),\quad v_3=(1,-1,1),\quad v_6=(1,-1,-2). \] Нормировка: $\|v_{-2}\|=\sqrt2,\ \|v_3\|=\sqrt3,\ \|v_6\|=\sqrt6$. Ортогональная матрица: \[ Q=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt6}\\[2pt] \frac1{\sqrt2} & -\frac1{\sqrt3} & -\frac1{\sqrt6}\\[2pt] 0 & \frac1{\sqrt3} & -\frac2{\sqrt6} \end{pmatrix}. \] Канонический вид: $-2y_1^2+3y_2^2+6y_3^2$.