## Условие задачи (43.45)

В пространстве \(\mathbb{R}[x]_n\) (многочлены степени не выше \(n\)) со скалярным произведением \[ \langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,dx \] найти:

а) объём параллелепипеда \(P(1, x, \ldots, x^n)\); б) расстояние от вектора \(x^n\) до подпространства \(\mathbb{R}[x]_{n-1}\).

—

## Решение

### Предварительные замечания

Набор векторов \(1, x, x^2, \dots, x^n\) образует базис \(\mathbb{R}[x]_n\). Объём параллелепипеда, натянутого на эти векторы, равен произведению длин ортогональных векторов, получаемых в процессе Грама–Шмидта, поскольку определитель матрицы перехода к ортогональному базису равен единице (преобразование треугольное с единицами на диагонали). Расстояние от \(x^n\) до подпространства \(\mathbb{R}[x]_{n-1}\) равно длине его ортогональной составляющей, т.е. длине вектора \[ q_n = x^n - \operatorname{proj}_{\mathbb{R}[x]_{n-1}} x^n. \]

### Ортогональные многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра \(P_k(x)\) (степени \(k\)) ортогональны на \([-1,1]\): \[ \int_{-1}^{1} P_k(x)P_l(x)\,dx = \frac{2}{2k+1}\,\delta_{kl}. \] Их старший коэффициент: \[ a_k = \frac{(2k)!}{2^k (k!)^2},\qquad\text{т.е. } P_k(x) = a_k x^k + \text{младшие члены}. \] Отсюда \[ x^k = \frac{1}{a_k}P_k(x) + \text{линейная комбинация } P_0,\dots,P_{k-1}. \]

При ортогонализации Грама–Шмидта последовательности \(1, x, x^2, \dots\) получаются векторы \(q_k = x^k - \operatorname{proj}_{\operatorname{span}\{1,\dots,x^{k-1}\}}x^k\), которые ортогональны всем многочленам меньшей степени. Следовательно, \(q_k\) коллинеарен \(P_k\). Из разложения выше видно, что \[ q_k = \frac{1}{a_k}P_k. \] Длина \(q_k\): \[ \|q_k\| = \frac{1}{a_k}\|P_k\| = \frac{1}{a_k}\sqrt{\frac{2}{2k+1}}. \] Для \(k=0\) имеем \(a_0=1\), \(\|q_0\|=\sqrt{2}\).

### а) Объём параллелепипеда \(P(1,x,\dots,x^n)\)

Объём есть произведение длин ортогональных векторов: \[ V = \prod_{k=0}^{n} \|q_k\| = \prod_{k=0}^{n} \frac{1}{a_k}\sqrt{\frac{2}{2k+1}}. \] Подставляя \(a_k = \dfrac{(2k)!}{2^k(k!)^2}\), получаем \[ V = \prod_{k=0}^{n} \frac{2^k(k!)^2}{(2k)!}\sqrt{\frac{2}{2k+1}}. \] Это можно записать в эквивалентных формах: \[ V = \prod_{k=0}^{n} \frac{2^{k+\frac12}(k!)^2}{(2k)!\sqrt{2k+1}},\qquad V^2 = \prod_{k=0}^{n} \frac{2^{2k+1}(k!)^4}{(2k)!^2(2k+1)}. \] Используя двойные факториалы (\((-1)!! = 1\), \((2k-1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)\)), так как \[ \frac{2^k k!}{(2k)!} = \frac{1}{(2k-1)!!}, \] находим \[ \|q_k\| = \frac{\sqrt{2}}{(2k-1)!!\,\sqrt{2k+1}},\qquad V = \frac{(\sqrt{2})^{\,n+1}}{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\bigl((2k-1)!!\,\sqrt{2k+1}\bigr)}. \]

### б) Расстояние от \(x^n\) до \(\mathbb{R}[x]_{n-1}\)

Ортогональная составляющая \(x^n\) относительно подпространства \(\mathbb{R}[x]_{n-1}\) есть в точности \(q_n\). Поэтому \[ d = \|q_n\| = \frac{1}{a_n}\sqrt{\frac{2}{2n+1}} = \frac{2^n n!}{(2n)!}\sqrt{\frac{2}{2n+1}}. \] Через двойной факториал: \[ d = \frac{\sqrt{2}}{(2n-1)!!\,\sqrt{2n+1}}. \]

—

## Ответ

а) Объём параллелепипеда: \[ V = \prod_{k=0}^{n} \frac{2^k(k!)^2}{(2k)!}\sqrt{\frac{2}{2k+1}}. \]

б) Расстояние от \(x^n\) до \(\mathbb{R}[x]_{n-1}\): \[ d = \frac{2^n n!}{(2n)!}\sqrt{\frac{2}{2n+1}} = \frac{\sqrt{2}}{(2n-1)!!\,\sqrt{2n+1}}. \]