Ниже приведено условие задачи, а затем подробное решение.

—

## Условие задачи (43.36)

Вычислить объём \(n\)-мерного параллелепипеда со сторонами:

a) \( (1, -1, 1, -1),\quad (1, 1, 1, 1),\quad (1, 0, -1, 0),\quad (0, 1, 0, -1); \)

б) \( (1, 1, 1, 1),\quad (1, -1, -1, 1),\quad (2, 1, 1, 3),\quad (0, 1, -1, 0). \)

—

## Решение

Объём \(n\)-мерного параллелепипеда, натянутого на векторы \(v_1,\dots,v_n\) в евклидовом пространстве, равен квадратному корню из определителя Грама, но если векторы заданы координатами в ортонормированном базисе (и пространство \(\mathbb{R}^n\) со стандартным скалярным произведением), то объём равен абсолютной величине определителя матрицы, составленной из координат этих векторов (строки или столбцы).

В обоих пунктах даны 4 вектора в \(\mathbb{R}^4\), поэтому объём вычисляется как \[ V = |\det A|, \] где \(A\) – матрица \(4\times 4\), строками которой являются данные векторы.

—

### a) Векторы:

\[ v_1 = (1,\ -1,\ 1,\ -1),\quad v_2 = (1,\ 1,\ 1,\ 1),\quad v_3 = (1,\ 0,\ -1,\ 0),\quad v_4 = (0,\ 1,\ 0,\ -1). \]

Матрица \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Вычислим определитель. Выполним элементарные преобразования строк, не меняющие определитель (вычитание строк):

- Из второй строки вычтем первую: \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\); - Из третьей строки вычтем первую: \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\).

Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Разложим определитель по первому столбцу (единственный ненулевой элемент \(a_{11}=1\)): \[ \det A = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Вычислим определитель матрицы \(3\times3\). Разложим по второму столбцу (в нём нули во второй и третьей строках): \[ \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = (-2)\cdot(-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}2 & 2\\ 1 & -1\end{pmatrix} = -2 \cdot \bigl(2\cdot(-1) - 2\cdot1\bigr) = -2 \cdot (-2 - 2) = -2 \cdot (-4) = 8. \]

Таким образом, \[ \det A = 1 \cdot 8 = 8,\qquad V = |\det A| = 8. \]

Ответ для пункта а): \(8\).

—

### б) Векторы:

\[ v_1 = (1,\ 1,\ 1,\ 1),\quad v_2 = (1,\ -1,\ -1,\ 1),\quad v_3 = (2,\ 1,\ 1,\ 3),\quad v_4 = (0,\ 1,\ -1,\ 0). \]

Матрица \(B\): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Преобразуем строки:

- \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\): \( (0,\ -2,\ -2,\ 0)\); - \(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1\): \( (0,\ -1,\ -1,\ 1)\); - \(R_4\) оставляем без изменений.

Получаем: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -2 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Разложение по первому столбцу даёт: \[ \det B = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Вычислим определитель \(3\times3\), разложив по третьему столбцу (элементы \(0,\ 1,\ 0\)): \[ \det\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix} = -1 \cdot \bigl((-2)\cdot(-1) - (-2)\cdot1\bigr) = -1 \cdot (2 + 2) = -4. \]

Следовательно, \[ \det B = 1 \cdot (-4) = -4,\qquad V = |\det B| = 4. \]

Ответ для пункта б): \(4\).

—

### Итоговый ответ

а) \(8\); б) \(4\).